Упр.30.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите все корни уравнения $$2\cos^2(x)=\sin(x)$$, удовлетворяющие неравенству $$\frac{?}{2}

Рассмотрим уравнение:

$$2\cos^2 x=\sin x.$$

Заменим $$\cos^2 x$$ через $$\sin x$$:

$$2(1-\sin^2 x)=\sin x,$$

$$2-2\sin^2 x=\sin x,$$

$$2\sin^2 x+\sin x-2=0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2y^2+y-2=0.$$

Найдём его корни:

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-2)=1+16=17,$$

$$y=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}.$$

Проверим значения:

$$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}<-1,$$

значит, это значение не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\sin x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}.$$

На промежутке $$\frac{\pi}{2}

$$x=\pi-\arcsin\frac{\sqrt{17}-1}{4}.$$

Ответ: $$\pi-\arcsin\frac{\sqrt{17}-1}{4}.$$