Упр.30.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите сумму корней уравнения $$2\sin^2(x)+7\cos(x)+2=0$$, принадлежащих промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$.

$$2\sin^2 x+7\cos x+2=0$$

Заменим $$\sin^2 x$$ через $$1-\cos^2 x$$:

$$2(1-\cos^2 x)+7\cos x+2=0$$

$$2-2\cos^2 x+7\cos x+2=0$$

$$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$2y^2-7y-4=0$$

$$D=(-7)^2-4\cdot 2\cdot(-4)=49+32=81$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=4$$

Так как $$\cos x$$ не может быть равен $$4$$, остаётся только

$$\cos x=-\frac12$$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ корни:

$$x_1=\frac{2\pi}{3},\qquad x_2=\frac{4\pi}{3}$$

Их сумма равна:

$$x_1+x_2=\frac{2\pi}{3}+\frac{4\pi}{3}=2\pi$$

Ответ

$$2\pi$$