Упр.30.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько корней уравнения $$\cos(2x)+\sin(x)=\cos^2(x)$$ принадлежат промежутку $$[-?; ?]$$?

Преобразуем уравнение:

$$\cos 2x+\sin x=\cos^2 x$$

Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем

$$2\cos^2 x-1+\sin x=\cos^2 x$$

$$\cos^2 x+\sin x-1=0.$$

Заменим $$1-\cos^2 x$$ на $$\sin^2 x$$:

$$\sin x=1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

Тогда

$$\sin^2 x-\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin x=0,$$ значит $$x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$
2. $$\sin x=1,$$ значит $$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем корни:

$$x=-\pi,\; 0,\; \pi,\; \dfrac{\pi}{2}.$$

Ответ: 4 корня.