Упр.30.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) $$3\sin(x)+5\cos(x)=-3$$;
2) $$3\sqrt{3}\sin(x)-5\cos(x)=7$$.

Подробный ответ

1) Преобразуем уравнение, используя формулы двойного угла:

$$3\sin x+5\cos x=-3$$
$$3\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+5\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=-3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)$$
$$2\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-8\cos^2\frac{x}{2}=0$$
$$\cos^2\frac{x}{2}\neq 0,\quad \text{делим на } \cos^2\frac{x}{2}$$
$$2\tan^2\frac{x}{2}-6\tan\frac{x}{2}-8=0$$
Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда

$$2y^2-6y-8=0$$
$$y^2-3y-4=0$$
$$(y+1)(y-4)=0$$
$$y_1=-1,\quad y_2=4$$

Тогда:

$$\tan\frac{x}{2}=-1 \Rightarrow \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$\tan\frac{x}{2}=4 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan 4+\pi n \Rightarrow x=2\arctan 4+2\pi n$$

2) Аналогично:

$$3\sqrt3\sin x-5\cos x=7$$
$$3\sqrt3\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-5\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)=7\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)$$
$$2\sin^2\frac{x}{2}-6\sqrt3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+12\cos^2\frac{x}{2}=0$$
$$\cos^2\frac{x}{2}\neq 0,\quad \text{делим на } \cos^2\frac{x}{2}$$
$$2\tan^2\frac{x}{2}-6\sqrt3\tan\frac{x}{2}+12=0$$
Пусть $$y=\tan\frac{x}{2}$$. Тогда

$$2y^2-6\sqrt3\,y+12=0$$
$$y^2-3\sqrt3\,y+6=0$$
$$D=(3\sqrt3)^2-4\cdot 6=27-24=3$$
$$y_{1,2}=\frac{3\sqrt3\pm \sqrt3}{2}$$
$$y_1=\sqrt3,\quad y_2=2\sqrt3$$

Тогда:

$$\tan\frac{x}{2}=\sqrt3 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$\tan\frac{x}{2}=2\sqrt3 \Rightarrow \frac{x}{2}=\arctan(2\sqrt3)+\pi n \Rightarrow x=2\arctan(2\sqrt3)+2\pi n$$