Упр.30.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$4\operatorname{ctg}(x)-5\sin(x)=0$$;
2. $$4\sin^2(2x)+7\cos(2x)-2\sin^2(x)=6$$;
3. $$7+2\sin(2x)+1{,}5\left(\operatorname{tg}(x)+\operatorname{ctg}(x)\right)=0$$;
4. $$\sin^2(x)=\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)-\sin^4\left(\frac{x}{2}\right)$$;
5. $$2\cos(4x)-2\cos^2(x)=3\cos(2x)$$.

1. $$4\ctg x-5\sin x=0$$

   $$4\frac{\cos x}{\sin x}-5\sin x=0,\qquad \sin x\ne 0$$

   Умножим на $$\sin x$$:

   $$4\cos x-5\sin^2 x=0$$

   $$4\cos x-5(1-\cos^2 x)=0$$

   $$5\cos^2 x+4\cos x-5=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$5y^2+4y-5=0$$

   $$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-5)=116=4\cdot 29$$

   $$y=\frac{-4\pm \sqrt{116}}{10}=\frac{-2\pm \sqrt{29}}{5}$$

   Значение $$\frac{-2-\sqrt{29}}{5}$$ не подходит, так как меньше $$-1$$.

   Следовательно,

   $$\cos x=\frac{\sqrt{29}-2}{5}$$

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt{29}-2}{5}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

2. $$4\sin^2 2x+7\cos 2x-2\sin^2 x=6$$

   $$4(1-\cos^2 2x)+7\cos 2x-2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=6$$

   $$4-4\cos^2 2x+7\cos 2x-1+\cos 2x-6=0$$

   $$4\cos^2 2x-8\cos 2x+3=0$$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

   $$4y^2-8y+3=0$$

   $$D=64-48=16$$

   $$y_1=\frac{8-4}{8}=\frac12,\qquad y_2=\frac{8+4}{8}=\frac32$$

   Значение $$\frac32$$ не подходит.

   Тогда

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

3. $$7+2\sin 2x+1{,}5(\tg x+\ctg x)=0$$

   $$7+2\sin 2x+\frac32\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)=0$$

   $$7+2\sin 2x+\frac32\cdot \frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=0$$

   $$7+2\sin 2x+\frac{3}{2\sin 2x}=0$$

   Пусть $$y=\sin 2x$$. Тогда

   $$7+2y+\frac{3}{2y}=0,\qquad y\ne 0$$

   Умножим на $$2y$$:

   $$4y^2+14y+3=0$$

   $$D=14^2-4\cdot 4\cdot 3=196-48=148$$

   $$y=\frac{-14\pm \sqrt{148}}{8}=\frac{-7\pm \sqrt{37}}{4}$$

   Из двух корней подходит только тот, который лежит в промежутке $$[-1;1]$$. Получаем

   $$\sin 2x=\frac{-7+\sqrt{37}}{4}$$

   Следовательно,

   $$2x=(-1)^n\arcsin\frac{-7+\sqrt{37}}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{(-1)^n}{2}\arcsin\frac{-7+\sqrt{37}}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z$$

4. $$\sin^2 x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$

   Используем формулу разности квадратов:

   $$\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)$$

   $$\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}=1,\qquad \cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x$$

   Тогда

   $$\sin^2 x=\cos x$$

   $$1-\cos^2 x=\cos x$$

   $$\cos^2 x+\cos x-1=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

   $$y^2+y-1=0$$

   $$D=1+4=5$$

   $$y=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}$$

   Подходит только

   $$\cos x=\frac{\sqrt5-1}{2}$$

   $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt5-1}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

5. $$2\cos 4x-2\cos^2 x=3\cos 2x$$

   $$2(2\cos^2 2x-1)-2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=3\cos 2x$$

   $$4\cos^2 2x-2-1-\cos 2x=3\cos 2x$$

   $$4\cos^2 2x-4\cos 2x-3=0$$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

   $$4y^2-4y-3=0$$

   $$D=16+48=64$$

   $$y_1=\frac{4-8}{8}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{4+8}{8}=\frac32$$

   Значение $$\frac32$$ не подходит.

   Тогда

   $$\cos 2x=-\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$