Упр.30.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\sin(x)\cos(x)+\cos^2(x)=0$$.

$$\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда получаем два случая:

1. $$\cos x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$\sin x+\cos x=0$$

   Разделим на $$\cos x$$, так как в этом случае $$\cos x\neq 0$$:

   $$\tg x+1=0$$

   $$\tg x=-1$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

Найдём наименьший положительный корень. Из первого семейства получаем $$x=\frac{\pi}{2}$$, из второго — $$x=\frac{3\pi}{4}$$. Наименьший положительный корень:

$$\frac{\pi}{2}$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$