Упр.30.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьший положительный корень уравнения $$6\sin^2(x)+2\sin^2(2x)=5$$.

Преобразуем уравнение:

$$6\sin^2 x+2\sin^2 2x=5.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$6\sin^2 x+2\cdot(2\sin x\cos x)^2=5,$$

$$6\sin^2 x+8\sin^2 x\cos^2 x=5.$$

Используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$6\sin^2 x+8\sin^2 x(1-\sin^2 x)=5,$$

$$8\sin^4 x-14\sin^2 x+5=0.$$

Обозначим $$y=\sin^2 x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$8y^2-14y+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-14)^2-4\cdot 8\cdot 5=196-160=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{14\pm 6}{16}.$$

Отсюда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=\frac54.$$

Так как $$\sin^2 x\le 1,$$ значение $$y_2=\frac54$$ не подходит. Значит,

$$\sin^2 x=\frac12,$$

$$\sin x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Наименьший положительный корень:

$$\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{4}$$