Упр.30.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $$\sin^2(x)+0{,}5\sin(2x)=1$$.

Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x+0{,}5\sin 2x=1$$

$$\sin^2 x+\sin x\cos x=1$$

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-\!1=0$$

Так как $$1-\sin^2 x=\cos^2 x,$$ то

$$0{,}5\cdot 2\sin x\cos x=1-\sin^2 x$$

$$\sin x\cos x=\cos^2 x$$

$$\cos^2 x-\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2. $$\cos x-\sin x=0,$$ тогда $$\cos x=\sin x,$$ значит $$\tg x=1,$$ и
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Найдём наибольший отрицательный корень. Среди решений

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

наибольшим отрицательным является $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{2}$$