Упр.3.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите, что функция, обратная к линейной функции $$y=kx+b$$ при $$k\ne0$$, также является линейной.

Пусть дана линейная функция $$y=kx+b,$$ где $$k\ne 0.$$

Найдём обратную к ней функцию. Для этого выразим $$x$$ через $$y$$:

$$x=ky+b \\\\ x-b=ky \\\\ y=\frac{x-b}{k}=\frac{1}{k}x-\frac{b}{k}.$$

Получили функцию вида $$y=k’x+b’,$$ где

$$k’=\frac{1}{k}, \qquad b’=-\frac{b}{k}.$$

Так как $$k\ne 0,$$ то и $$k’=\frac{1}{k}\ne 0.$$ Следовательно, функция, обратная к линейной функции, тоже является линейной.

Ответ

Обратная функция имеет вид $$y=\frac{1}{k}x-\frac{b}{k},$$ значит, она линейная.