Упр.29.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) $$x^6-3x^3-10=0$$;
3) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$;
2) $$\sqrt{x+4}+3\sqrt[4]{x+4}=28$$;
4) $$x^2+x-\sqrt{x^2+x-2}=8$$.
1) $$x^6-3x^3-10=0$$
Пусть $$y=x^3$$, тогда получаем:
$$y^2-3y-10=0$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2}$$
$$y_1=-2,\quad y_2=5$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x^3=-2 \Rightarrow x=-\sqrt[3]{2}$$
$$x^3=5 \Rightarrow x=\sqrt[3]{5}$$
Ответ: $$-\sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{5}$$
2) $$\sqrt{x+4}+3\sqrt[4]{x+4}=28$$
Пусть $$y=\sqrt[4]{x+4}$$, тогда $$y^2=\sqrt{x+4}$$, и уравнение принимает вид:
$$y^2+3y=28$$
$$y^2+3y-28=0$$
$$D=3^2+4\cdot 28=121$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 11}{2}$$
$$y_1=-7,\quad y_2=4$$
Так как $$y=\sqrt[4]{x+4}\ge 0$$, значение $$y=-7$$ не подходит.
$$\sqrt[4]{x+4}=4$$
$$x+4=256$$
$$x=252$$
Ответ: $$252$$
3) $$\frac{2x+1}{x}+\frac{4x}{2x+1}=5$$
ОДЗ: $$x\ne 0,\ x\ne -\frac12$$.
Пусть $$y=\frac{2x+1}{x}$$, тогда
$$\frac{4x}{2x+1}=\frac{4}{y}$$
Получаем:
$$y+\frac{4}{y}=5$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-5y+4=0$$
$$D=5^2-4\cdot 4=9$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=4$$
1) $$\frac{2x+1}{x}=1$$
$$2x+1=x$$
$$x=-1$$
2) $$\frac{2x+1}{x}=4$$
$$2x+1=4x$$
$$2x=1$$
$$x=\frac12$$
Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $$-1,\ \frac12$$
4) $$x^2+x-\sqrt{x^2+x-2}=8$$
Пусть $$y=\sqrt{x^2+x-2}$$, тогда
$$y^2=x^2+x-2$$
$$x^2+x=y^2+2$$
Подставим в уравнение:
$$y^2+2-y=8$$
$$y^2-y-6=0$$
$$D=1^2+4\cdot 6=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$y_1=-2,\quad y_2=3$$
Так как $$y=\sqrt{x^2+x-2}\ge 0$$, значение $$y=-2$$ не подходит.
$$\sqrt{x^2+x-2}=3$$
$$x^2+x-2=9$$
$$x^2+x-11=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-11)=45$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{45}}{2}=\frac{-1\pm 3\sqrt5}{2}$$
Ответ: $$\frac{-1-3\sqrt5}{2},\ \frac{-1+3\sqrt5}{2}$$
