Упр.29.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вычислите: 1) $$\sin(\arccos(\frac{1}{3}))$$; 2) $$\operatorname{ctg}(\arccos(\frac{12}{13}))$$.

1) Пусть $$\arccos \frac{1}{3}=a,$$ тогда $$0\le a\le \pi,$$ $$\cos a=\frac{1}{3}.$$

Так как $$a\in[0;\pi],$$ то $$\sin a\ge 0,$$ значит

$$\sin\left(\arccos \frac{1}{3}\right)=\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

2) Пусть $$\arccos \frac{12}{13}=a,$$ тогда $$0\le a\le \pi,$$ $$\cos a=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13},$$

и

$$\operatorname{ctg}\left(\arccos \frac{12}{13}\right)=\operatorname{ctg} a=\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}.$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt{2}}{3};\ \frac{12}{5}.$$