Упр.28.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Сколько корней уравнения $$\operatorname{ctg}\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\,2\pi\right]$$?

Решим уравнение:

$$\ctg \frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$\frac{x}{3}=\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi n.$$

Так как

$$\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{2\pi}{3},$$

то

$$\frac{x}{3}=\frac{2\pi}{3}+\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Проверим, какие из этих корней принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\,2\pi\right].$$

При $$n=0$$ получаем $$x=2\pi,$$ и это значение входит в промежуток. При $$n=-1$$ имеем $$x=-\pi,$$ а это уже меньше $$-\frac{\pi}{2}.$$ Других значений на данном промежутке нет.

Ответ: 1 корень.