Упр.28.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\operatorname{tg}\left(x+\frac{?}{4}\right)=1$$; 2) $$\operatorname{ctg}(4-3x)=2$$; 3) $$3\operatorname{tg}(3x+1)-\sqrt{3}=0$$.

1) $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$

Так как $$\tg \alpha = 1$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ то

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Отсюда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$\ctg(4-3x)=2$$

Преобразуем к тангенсу:

$$\tg(4-3x)=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$4-3x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$3x=4-\arctg\frac{1}{2}-\pi n,$$

$$x=\frac{4-\arctg\frac{1}{2}}{3}-\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$3\tg(3x+1)-\sqrt{3}=0$$

$$3\tg(3x+1)=\sqrt{3},$$

$$\tg(3x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tg\frac{\pi}{6}.$$

Значит,

$$3x+1=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$3x=\frac{\pi}{6}-1+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{18}-\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: 1) $$x=\pi n$$; 2) $$x=\frac{4-\arctg\frac{1}{2}}{3}-\frac{\pi n}{3}$$; 3) $$x=\frac{\pi}{18}-\frac{1}{3}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$