Упр.27.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 3) $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$; 2) $$\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; 4) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$.

1) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

Пусть $$t=x-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

$$t=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,$$

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Следовательно,

$$x-\frac{\pi}{6}=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{6}+(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

2) $$\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$

Перепишем:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{8}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n,$$

$$x-\frac{\pi}{8}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{8}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

3) $$\sin\left(\frac{x}{3}+1\right)=-1$$

Так как $$\sin t=-1$$ при $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ то

$$\frac{x}{3}+1=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Тогда

$$\frac{x}{3}=-1-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n.$$

4) $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)-1=0$$

Перенесём единицу:

$$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=1,$$

$$\sin\left(\frac{\pi}{12}-3x\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Используем формулу $$\sin(-u)=-\sin u$$:

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$3x-\frac{\pi}{12}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\pi n,$$

$$3x-\frac{\pi}{12}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Следовательно,

$$3x=\frac{\pi}{12}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{36}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,$$

3) $$x=-3-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,$$

4) $$x=\frac{\pi}{36}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$