Упр.27.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции, укажите её область значений и промежутки возрастания и убывания:

1) $$y=\begin{cases}x, & \text{если } x\leq 0,\\4x-x^2, & \text{если } x>0;\end{cases}$$

2) $$y=\begin{cases}-\frac{4}{x}, & \text{если } x<-2,\\-x, & \text{если } -2\leq x\leq 0,\\x^{1/4}, & \text{если } x>0.\end{cases}$$

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} x, & x\le 0,\\ 4x-x^2, & x>0. \end{cases}$$

При $$x\le 0$$ имеем прямую $$y=x$$, а при $$x>0$$ — параболу $$y=4x-x^2$$, ветви которой направлены вниз.

Для параболы найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,\qquad y_0=4\cdot 2-2^2=4.$$

Значит, наибольшее значение функции равно $$4$$, а снизу она не ограничена.

Следовательно,

$$E(y)=(-\infty;4].$$

На промежутке $$(-\infty;0]$$ функция $$y=x$$ возрастает, а на $$[0;2]$$ парабола $$y=4x-x^2$$ тоже возрастает. При $$x\ge 2$$ парабола убывает.

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.

2) Рассмотрим функцию

$$y=\begin{cases} -\dfrac{4}{x}, & x<-2,\\ -x, & -2\le x\le 0,\\ \sqrt[4]{x}, & x>0. \end{cases}$$

На каждом из промежутков:

$$y=-\dfrac{4}{x}$$ при $$x<-2$$ возрастает;
$$y=-x$$ при $$-2\le x\le 0$$ убывает;
$$y=\sqrt[4]{x}$$ при $$x>0$$ возрастает.

Значения функции на первом участке: при $$x<-2$$ получаем $$0<y<2$$. На втором участке $$y$$ принимает значения от $$2$$ до $$0$$, а на третьем — все значения $$y>0$$.

Следовательно, множество значений функции:

$$E(y)=[0;+\infty).$$

Функция возрастает на $$(-\infty;-2] \cup [0;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;0]$$.