Упр.27.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите все корни уравнения $$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Решим уравнение:

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Пусть

$$x-\frac{\pi}{3}=t.$$

Тогда

$$\sin t=\frac12,$$

откуда

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{5\pi}{6}+2\pi k=\frac{7\pi}{6}+2\pi k.$$

Теперь найдём корни, принадлежащие промежутку $$\left[-\pi;\frac{3\pi}{2}\right].$$

Из первой серии подходит только

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Из второй серии получаем:

$$x=\frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6},$$

$$x=\frac{7\pi}{6}.$$

Все корни на данном промежутке:

$$-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6}.$$

Ответ

$$-\frac{5\pi}{6},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6}$$