Упр.27.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sin(x)-\sqrt{3}\cos(x)=1$$;
2. $$\sin(x)+\cos(x)=\sqrt{2}$$.

1) $$\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$\frac12\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\frac12$$

Заметим, что

$$\frac12=\cos\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$\cos\frac{\pi}{3}\sin x-\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\frac12,$$

то есть

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x+\cos x=\sqrt2$$

Разделим обе части на $$\sqrt2$$:

$$\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1.$$

Так как

$$\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4},$$

получаем

$$\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x=1,$$

то есть

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$