Упр.26.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\cos\left(\frac{x}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Решим уравнение:

$$\cos \frac{x}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Значения косинуса равны $$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при

$$\frac{x}{4}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=4\left(\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n\right).$$

Получаем два семейства корней:

$$x=-3\pi+8\pi n,$$

$$x=3\pi+8\pi n.$$

Наименьший положительный корень получается при $$n=0$$ во втором семействе:

$$x=3\pi.$$

Ответ: $$3\pi$$.