Упр.26.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
2. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
3. $$\cos\left(\frac{x}{6}-2\right)=-1$$;
4. $$2\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)+1=0$$.

1) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n.$$

2) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Используем чётность косинуса:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Получаем

$$x=\frac{13\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{7\pi}{12}+2\pi n.$$

3) $$\cos\left(\frac{x}{6}-2\right)=-1.$$

Значение косинуса равно $$-1$$ при

$$\frac{x}{6}-2=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\frac{x}{6}=\pi+2+2\pi n,$$

$$x=6\pi+12+12\pi n.$$

4) $$2\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)+1=0.$$

Тогда

$$\cos\left(\frac{\pi}{8}-3x\right)=-\frac12.$$

Используем чётность косинуса:

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac12.$$

Следовательно,

$$3x-\frac{\pi}{8}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{8}\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{24}\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+2\pi n,\; x=-\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{13\pi}{12}+2\pi n,\; x=-\frac{7\pi}{12}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=6\pi+12+12\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi}{24}\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$