Упр.25.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\cos(3a)\cos(6a)-\cos(4a)\cos(7a)=\sin(10a)\sin(a);$$
   2) $$2\cos\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{4}+15^\circ\right)\cos\left(\frac{a}{4}-15^\circ\right)=\sin\left(45^\circ+\frac{a}{4}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3a}{4}\right).$$

1) Преобразуем разность произведений по формуле

$$\cos x\cos y=\frac12\bigl(\cos(x-y)+\cos(x+y)\bigr).$$

Тогда

$$\cos 3a\cos 6a-\cos 4a\cos 7a= \frac12\bigl(\cos(6a-3a)+\cos(6a+3a)\bigr)-\frac12\bigl(\cos(7a-4a)+\cos(7a+4a)\bigr)$$

$$=\frac12(\cos 3a+\cos 9a)-\frac12(\cos 3a+\cos 11a) =\frac12(\cos 9a-\cos 11a).$$

Применим формулу

$$\cos u-\cos v=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}.$$

Получаем

$$\frac12(\cos 9a-\cos 11a) =\frac12\cdot\bigl(-2\sin 10a\sin(-a)\bigr) =\sin 10a\sin a.$$

Тождество доказано.

2) Используем формулу произведения синусов:

$$\sin x\cos y=\frac12\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr).$$

Тогда

$$2\cos\frac a2\cdot \sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cdot \cos\left(\frac a4-15^\circ\right)$$

$$=2\cos\frac a2\cdot \frac12\left[\sin\left(\frac a4+15^\circ+\frac a4-15^\circ\right)+\sin\left(\frac a4+15^\circ-\left(\frac a4-15^\circ\right)\right)\right]$$

$$=\cos\frac a2\bigl(\sin\frac a2+\sin 30^\circ\bigr) =\cos\frac a2\sin\frac a2+\frac12\cos\frac a2.$$

Теперь представим сумму в виде произведения:

$$\frac12\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right) =\sin\left(45^\circ+\frac a4\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3a}{4}\right).$$

Следовательно,

$$2\cos\frac a2\cdot \sin\left(\frac a4+15^\circ\right)\cdot \cos\left(\frac a4-15^\circ\right) =\sin\left(45^\circ+\frac a4\right)\cos\left(45^\circ-\frac{3a}{4}\right).$$

Тождество доказано.