Упр.25.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите равенство $$\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\ldots+\cos\frac{17\pi}{19}=\frac{1}{2}$$.

Используем формулу

$$2\sin x\cos y=\sin(x+y)+\sin(x-y).$$

Тогда

$$2\sin\frac{\pi}{19}\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos\frac{17\pi}{19}\right)$$

$$=\left(\sin\frac{2\pi}{19}+\sin0\right)+\left(\sin\frac{4\pi}{19}+\sin\left(-\frac{2\pi}{19}\right)\right)+\cdots+\left(\sin\frac{18\pi}{19}+\sin\left(-\frac{16\pi}{19}\right)\right).$$

После сокращения попарно остаётся

$$2\sin\frac{\pi}{19}\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos\frac{17\pi}{19}\right) =\sin\frac{18\pi}{19}.$$

Так как $$\sin\frac{18\pi}{19}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{19}\right)=\sin\frac{\pi}{19},$$ то

$$\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cdots+\cos\frac{17\pi}{19} =\frac{\sin\frac{\pi}{19}}{2\sin\frac{\pi}{19}}=\frac12.$$

Ответ: $$\frac12$$.