Упр.24.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Преобразуйте в произведение:
1) $$\cos 50^\circ+\cos 20^\circ$$;
5) $$\cos\frac{\pi}{18}+\cos\frac{\pi}{12}$$;
2) $$\cos 2a-\cos 4a$$;
6) $$\sin(x+a)+\sin(x-a)$$;
3) $$\sin\pi+\sin 4\pi$$;
7) $$\sin\left(2a-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(2a-\frac{\pi}{3}\right)$$;
4) $$\sin 5^\circ-\sin 3^\circ$$;
8) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)$$.
Используем формулы приведения суммы к произведению:
$$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
$$\cos 50^\circ+\cos 20^\circ=2\cos\frac{50^\circ+20^\circ}{2}\cos\frac{50^\circ-20^\circ}{2}=2\cos 35^\circ\cos 15^\circ.$$
$$\cos 2a-\cos 4a=-2\sin\frac{2a+4a}{2}\sin\frac{2a-4a}{2}=-2\sin 3a\sin(-a)=2\sin 3a\sin a.$$
$$\sin \beta+\sin 4\beta=2\sin\frac{\beta+4\beta}{2}\cos\frac{\beta-4\beta}{2}=2\sin\frac{5\beta}{2}\cos\frac{3\beta}{2}.$$
$$\sin 5^\circ-\sin 3^\circ=2\cos\frac{5^\circ+3^\circ}{2}\sin\frac{5^\circ-3^\circ}{2}=2\cos 4^\circ\sin 1^\circ.$$
$$\cos\frac{\pi}{18}+\cos\frac{\pi}{12}=2\cos\frac{\frac{\pi}{18}+\frac{\pi}{12}}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{18}-\frac{\pi}{12}}{2}$$
$$=2\cos\frac{5\pi}{72}\cos\frac{\pi}{72}.$$
$$\sin(x+a)+\sin(x-a)=2\sin\frac{(x+a)+(x-a)}{2}\cos\frac{(x+a)-(x-a)}{2}$$
$$=2\sin x\cos a.$$
$$\sin\left(2a-\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(2a-\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\left(2a-\frac{\pi}{6}\right)+\left(2a-\frac{\pi}{3}\right)}{2}\sin\frac{\left(2a-\frac{\pi}{6}\right)-\left(2a-\frac{\pi}{3}\right)}{2}$$
$$=2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{12}=2\sin\frac{\pi}{12}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=2\cos\frac{\left(\frac{\pi}{3}+a\right)+\left(\frac{\pi}{3}-a\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{3}+a\right)-\left(\frac{\pi}{3}-a\right)}{2}$$
$$=2\cos\frac{\pi}{3}\cos a.$$
