Упр.24.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите тождество:
- $$1+\sin(a)+\cos(a)=2\sqrt{2}\cos\frac{a}{2}\cos\left(\frac{a}{2}-\frac{\pi}{4}\right);$$
- $$\frac{1+\cos(4a-2\pi)+\cos\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{1+\cos(4a+\pi)+\cos\left(4a+\frac{3\pi}{2}\right)}=\operatorname{ctg}(2a);$$
- $$\sin^2\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{17\pi}{8}-2a\right)=-\frac{\cos(4a)}{\sqrt{2}}.$$
$$1+\sin a+\cos a=1+2\sin\frac a2\cos\frac a2+\left(2\cos^2\frac a2-1\right)$$
$$=2\cos\frac a2\left(\sin\frac a2+\cos\frac a2\right)=2\cos\frac a2\left(\sin\frac a2+\sin\left(\frac\pi2-\frac a2\right)\right)$$
$$=2\cos\frac a2\cdot 2\sin\frac{\frac\pi2-\frac a2+\frac a2}{2}\cos\frac{\frac\pi2-\frac a2-\frac a2}{2}$$
$$=4\cos\frac a2\sin\frac\pi4\cos\left(\frac\pi4-\frac a2\right)=2\sqrt2\cos\frac a2\cos\left(\frac a2-\frac\pi4\right).$$
Тождество доказано.
$$\frac{1+\cos(4a-2\pi)+\cos\left(4a-\frac\pi2\right)}{1+\cos(4a+\pi)+\cos\left(4a+\frac{3\pi}{2}\right)}$$
$$=\frac{1+\cos4a+\sin4a}{1-\cos4a+\sin4a}$$
$$=\frac{1+\left(2\cos^2 2a-1\right)+\sin4a}{1-\left(1-2\sin^2 2a\right)+\sin4a} =\frac{2\cos^2 2a+2\sin2a\cos2a}{2\sin^2 2a+2\sin2a\cos2a}$$
$$=\frac{2\cos2a\left(\cos2a+\sin2a\right)}{2\sin2a\left(\sin2a+\cos2a\right)} =\frac{\cos2a}{\sin2a}\cdot\frac{\cos2a+\sin2a}{\sin2a+\cos2a}=\ctg2a.$$
Тождество доказано.
$$\sin^2\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)-\cos^2\left(\frac{17\pi}{8}-2a\right)$$
$$=\sin^2\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)-\cos^2\left(\frac\pi2+\frac{13\pi}{8}-2a\right)$$
$$=\sin^2\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)-\sin^2\left(\frac{13\pi}{8}-2a\right)$$
$$=\left(\sin\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)-\sin\left(\frac{13\pi}{8}-2a\right)\right) \left(\sin\left(\frac{15\pi}{8}-2a\right)+\sin\left(\frac{13\pi}{8}-2a\right)\right)$$
$$=2\sin\frac\pi8\cos\left(\frac{7\pi}{8}-2a\right)\cdot 2\sin\frac{7\pi}{8}\cos\frac\pi8$$
$$=\sin\frac\pi4\cdot \sin\left(\frac{7\pi}{2}-4a\right) =\frac1{\sqrt2}\sin\left(2\pi+\frac{3\pi}{2}-4a\right)$$
$$=-\frac{\cos4a}{\sqrt2}.$$
Тождество доказано.
