Упр.23.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество $$\frac{3+4\cos(a)+\cos(2a)}{3-4\cos(a)+\cos(2a)}=\operatorname{ctg}^4\left(\frac{a}{2}\right)$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{3+4\cos a+\cos 2a}{3-4\cos a+\cos 2a} = \frac{3+4\cos a+(2\cos^2 a-1)}{3-4\cos a+(2\cos^2 a-1)}$$

$$= \frac{2+4\cos a+2\cos^2 a}{2-4\cos a+2\cos^2 a} = \frac{1+2\cos a+\cos^2 a}{1-2\cos a+\cos^2 a} = \frac{(1+\cos a)^2}{(1-\cos a)^2}$$

Используем формулы половинного угла:

$$1+\cos a=2\cos^2\frac a2,\qquad 1-\cos a=2\sin^2\frac a2$$

Тогда

$$\frac{(1+\cos a)^2}{(1-\cos a)^2} = \frac{\left(2\cos^2\frac a2\right)^2}{\left(2\sin^2\frac a2\right)^2} = \frac{4\cos^4\frac a2}{4\sin^4\frac a2} = \ctg^4\frac a2$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ: $$\frac{3+4\cos a+\cos 2a}{3-4\cos a+\cos 2a}=\ctg^4\frac a2$$.