Упр.23.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Дано: $$\operatorname{tg}\left(\frac{a}{2}\right)=6$$. Найдите $$\sin(a)-\cos(a)$$.

Используем формулы:

$$\sin a=\frac{2\tan \frac a2}{1+\tan^2 \frac a2}, \qquad \cos a=\frac{1-\tan^2 \frac a2}{1+\tan^2 \frac a2}.$$

Тогда

$$\sin a-\cos a=\frac{2\tan \frac a2}{1+\tan^2 \frac a2}-\frac{1-\tan^2 \frac a2}{1+\tan^2 \frac a2}=\frac{\tan^2 \frac a2+2\tan \frac a2-1}{1+\tan^2 \frac a2}.$$

Подставим $$\tan \frac a2=6$$:

$$\sin a-\cos a=\frac{6^2+2\cdot 6-1}{1+6^2}=\frac{36+12-1}{37}=\frac{47}{37}.$$

Ответ: $$\frac{47}{37}$$.