Упр.23.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите, что $$\operatorname{tg}75^\circ-\operatorname{ctg}75^\circ=2\sqrt{3}$$.

$$\tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=\frac{\sin 75^\circ}{\cos 75^\circ}-\frac{\cos 75^\circ}{\sin 75^\circ}=\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{\sin 75^\circ\cdot \cos 75^\circ}.$$

Так как $$\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha=-\cos 2\alpha,$$ а $$\sin \alpha\cos \alpha=\frac12\sin 2\alpha,$$ то

$$\tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=\frac{-\cos 150^\circ}{\frac12\sin 150^\circ}=-2\ctg 150^\circ.$$

Далее

$$\ctg 150^\circ=\ctg(180^\circ-30^\circ)=-\ctg 30^\circ=-\sqrt3,$$

значит

$$\tg 75^\circ-\ctg 75^\circ=-2\cdot(-\sqrt3)=2\sqrt3.$$

Ответ: $$2\sqrt3$$.