Упр.23.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\sin(a)$$, $$\cos(a)$$, $$\operatorname{tg}(a)$$, если $$\operatorname{tg}\left(\frac{a}{2}\right)=5$$.

Используем формулы через половинный угол:

$$\sin a=\frac{2\tg \frac a2}{1+\tg^2 \frac a2}, \qquad \cos a=\frac{1-\tg^2 \frac a2}{1+\tg^2 \frac a2}.$$

Так как $$\tg \frac a2=5,$$ получаем:

$$\sin a=\frac{2\cdot 5}{1+5^2}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13},$$
$$\cos a=\frac{1-5^2}{1+5^2}=\frac{1-25}{26}=-\frac{24}{26}=-\frac{12}{13}.$$

Теперь найдём тангенс:

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}.$$

Ответ: $$\sin a=\frac{5}{13},\ \cos a=-\frac{12}{13},\ \tg a=-\frac{5}{12}.$$