Упр.23.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите $$\operatorname{tg}(2a)$$, если: 1) $$\operatorname{tg}(a)=4$$; 2) $$\sin(a)=\frac{\sqrt{5}}{3}$$ и $$0

1) Используем формулу двойного угла для тангенса:

$$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}.$$

Подставим $$\tg a=4$$:

$$\tg 2a=\frac{2\cdot 4}{1-4^2}=\frac{8}{1-16}=-\frac{8}{15}.$$

2) Так как $$\sin a=\frac{\sqrt5}{3}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит $$\cos a>0$$.

Найдём косинус:

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt5}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{\sqrt5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Теперь вычислим $$\tg 2a$$:

$$\tg 2a=\frac{2\tg a}{1-\tg^2 a}=\frac{2\cdot \frac{\sqrt5}{2}}{1-\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt5}{1-\frac54}=\frac{\sqrt5}{-\frac14}=-4\sqrt5.$$

Ответ: 1) $$-\frac{8}{15}$$; 2) $$-4\sqrt5$$.