Упр.22.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\frac{x^2-10}{x}\mathrel{?}3$$;
   2) $$\frac{x^2+x}{x-2}\mathrel{?}\frac{6}{x-2}$$;
   3) $$\frac{x^2-3x-4}{2x^2-x-3}\mathrel{?}0$$.

1) $$\frac{x^2-10}{x}\ge 3$$

Перенесём $$3$$ в левую часть:

$$\frac{x^2-10-3x}{x}\ge 0$$

$$\frac{x^2-3x-10}{x}\ge 0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-3x-10=(x+2)(x-5)$$

Тогда

$$\frac{(x+2)(x-5)}{x}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=0,\; x=5.$$

По знакам получаем:

$$x\in[-2;0)\cup[5;+\infty).$$

2) $$\frac{x^2+x}{x-2}\ge \frac{6}{x-2}$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{x^2+x-6}{x-2}\ge 0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Тогда

$$\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}\ge 0,\qquad x\ne 2$$

При $$x\ne 2$$ получаем:

$$x+3\ge 0,\qquad x\ne 2$$

Следовательно,

$$x\in[-3;2)\cup(2;+\infty).$$

3) $$\frac{x^2-3x-4}{2x^2-x-3}\le 0$$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$x^2-3x-4=(x+1)(x-4)$$

$$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(x-4)}{(2x-3)(x+1)}\le 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne \frac32$$

Сократим на $$x+1$$ при $$x\ne -1$$:

$$\frac{x-4}{2x-3}\le 0,\qquad x\ne -1,\; x\ne \frac32$$

Критические точки: $$x=\frac32,\; x=4.$$

По знакам дроби:

$$x\in\left[\frac32;4\right].$$

Ответ: 1) $$x\in[-2;0)\cup[5;+\infty)$$; 2) $$x\in[-3;2)\cup(2;+\infty)$$; 3) $$x\in\left[\frac32;4\right].$$