Упр.22.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\tg(\pi+a);$$
2) $$\frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\sin^2(70^\circ+a)}+\tg(a+10^\circ)\ctg(80^\circ-a).$$
1) $$\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)\tg(\pi+a)$$
$$=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+a\right)\right)+(-\cos a)\cdot \sin a \cdot \tg a$$
$$=\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\sin^2\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\sin a\cdot \cos a\cdot \frac{\sin a}{\cos a}$$
$$=1-\sin^2 a=\cos^2 a.$$
Ответ: $$\cos^2 a.$$
2) $$\frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\sin^2(70^\circ+a)}+\tg(a+10^\circ)\ctg(80^\circ-a)$$
$$=\frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\sin^2\bigl(90^\circ-(20^\circ-a)\bigr)}+\tg(a+10^\circ)\ctg\bigl(90^\circ-(10^\circ+a)\bigr)$$
$$=\frac{\cos^2(20^\circ-a)}{\cos^2(20^\circ-a)}+\tg(a+10^\circ)\tg(10^\circ+a)$$
$$=1+\tg^2(10^\circ+a)=\frac{1}{\cos^2(10^\circ+a)}.$$
Ответ: $$\frac{1}{\cos^2(10^\circ+a)}.$$
