Упр.22.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Вычислите:
1) $$\operatorname{tg}(10^\circ)\operatorname{tg}(20^\circ)\operatorname{tg}(30^\circ)\cdot\ldots\cdot\operatorname{tg}(70^\circ)\operatorname{tg}(80^\circ)$$;
2) $$\operatorname{ctg}(15^\circ)+\operatorname{ctg}(30^\circ)+\operatorname{ctg}(45^\circ)+\ldots+\operatorname{ctg}(165^\circ)$$.
1) Используем формулу $$\tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha.$$ Тогда
$$\tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \tg 70^\circ\cdot \tg 80^\circ$$
$$= \tg 10^\circ\cdot \tg 20^\circ\cdot \tg 30^\circ\cdot \ldots \cdot \ctg 30^\circ\cdot \ctg 20^\circ\cdot \ctg 10^\circ$$
$$= 1\cdot 1\cdot 1\cdot \ldots \cdot 1 = 1.$$
2) Сгруппируем слагаемые попарно, используя формулу $$\ctg(180^\circ-\alpha)=-\ctg\alpha.$$ Тогда
$$\ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 165^\circ$$
$$= \ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 90^\circ+\ctg 135^\circ+\ctg 150^\circ+\ctg 165^\circ$$
$$= \ctg 15^\circ+\ctg 30^\circ+\ctg 45^\circ+\ldots+\ctg 90^\circ-\ctg 45^\circ-\ctg 30^\circ-\ctg 15^\circ = 0.$$
Ответ: 1) $$1$$; 2) $$0$$.
