Упр.21.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Постройте график функции:
- 1) $$y=\frac{\operatorname{tg}(2x)-\operatorname{tg}(x)}{1+\operatorname{tg}(2x)\operatorname{tg}(x)}$$; 2) $$y=\frac{\sqrt{3}+\operatorname{tg}(x)}{1-\sqrt{3}\operatorname{tg}(x)}$$.
1) Используем формулу разности тангенсов:
$$\frac{\tg 2x-\tg x}{1+\tg 2x\cdot \tg x}=\tg(2x-x)=\tg x.$$
Но выражение определено не при всех $$x$$, а только при тех, для которых существуют $$\tg 2x$$ и $$\tg x$$, а также не обращается в нуль знаменатель:
$$\cos 2x\ne 0,\qquad \cos x\ne 0.$$
Следовательно,
$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\tg x$$, но в точках, где исходное выражение не определено, нужно выколоть точки.
2) Преобразуем выражение по формуле суммы тангенсов:
$$\frac{\sqrt3+\tg x}{1-\sqrt3\,\tg x}=\frac{\tg \frac{\pi}{3}+\tg x}{1-\tg \frac{\pi}{3}\cdot \tg x}=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$
Область определения задаётся условием существования исходной дроби:
$$1-\sqrt3\,\tg x\ne 0,$$
то есть
$$\tg x\ne \frac{1}{\sqrt3}=\tg \frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак, график функции совпадает с графиком $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right),$$ но в точках $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$ нужно выколоть точки.
Ответ
1) $$y=\tg x,\quad x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$y=\tg\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
