Упр.21.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее значение выражения:

1. $$\sqrt{3}\cos(\alpha)-\sin(\alpha)$$;
2. $$\sqrt{2}\sin(\alpha)+\sqrt{6}\cos(\alpha)$$.

1) $$\sqrt{3}\cos a-\sin a=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a-\frac12\sin a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos a-\sin\frac{\pi}{6}\sin a\right)=2\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$-1\le \cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\cos\left(a+\frac{\pi}{6}\right)\le 2.$$

Наименьшее значение равно $$-2.$$

2) $$\sqrt{2}\sin a+\sqrt{6}\cos a=2\sqrt{2}\left(\frac12\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right)=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin a+\sin\frac{\pi}{3}\cos a\right)=2\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\sqrt{2}\le 2\sqrt{2}\sin\left(a+\frac{\pi}{3}\right)\le 2\sqrt{2}.$$

Наименьшее значение равно $$-2\sqrt{2}.$$

Ответ: 1) $$-2$$; 2) $$-2\sqrt{2}$$.