Упр.21.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество $$\operatorname{ctg}(a)+\operatorname{ctg}(?)=\frac{\sin(a+?)}{\sin(a)\sin(?)}$$.

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \cdot \sin \beta}=\frac{\sin a \cdot \cos \beta+\cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}$$

$$=\frac{\sin a \cdot \cos \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}+\frac{\cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \sin \beta}=\frac{\cos \beta}{\sin \beta}+\frac{\cos a}{\sin a}=\operatorname{ctg}\beta+\operatorname{ctg}a.$$

Следовательно,

$$\operatorname{ctg}a+\operatorname{ctg}\beta=\frac{\sin(a+\beta)}{\sin a \cdot \sin \beta}.$$

Тождество доказано.