Упр.20.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Дано: $$\operatorname{tg}(\alpha)+\operatorname{ctg}(\alpha)=b$$. Найдите: 1) $$\operatorname{tg}^2(\alpha)+\operatorname{ctg}^2(\alpha)$$; 2) $$\operatorname{tg}^3(\alpha)+\operatorname{ctg}^3(\alpha)$$.

Пусть $$\tg a+\ctg a=b.$$

Тогда

$$\tg^2 a+\ctg^2 a=(\tg a+\ctg a)^2-2\tg a\cdot \ctg a=b^2-2,$$

так как $$\tg a\cdot \ctg a=1.$$

Для третьих степеней используем формулу куба суммы:

$$\begin{aligned} \tg^3 a+\ctg^3 a&=(\tg a+\ctg a)^3-3\tg a\cdot \ctg a(\tg a+\ctg a)\\ &=b^3-3b\\ &=b(b^2-3). \end{aligned}$$

Ответ: 1) $$b^2-2$$; 2) $$b(b^2-3).$$