Упр.20.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Дано: $$\sin(a)+\cos(a)=b$$. Найдите: 1) $$\sin(a)\cos(a)$$; 2) $$\sin^3(a)+\cos^3(a)$$; 3) $$\sin^4(a)+\cos^4(a)$$.

Пусть $$\sin a+\cos a=b.$$ Тогда

1. Найдём $$\sin a\cos a$$:

   $$(\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+\cos^2 a+2\sin a\cos a=1+2\sin a\cos a.$$

   Отсюда

   $$b^2=1+2\sin a\cos a,$$

   значит,

   $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}.$$

2. Найдём $$\sin^3 a+\cos^3 a$$:

   $$\sin^3 a+\cos^3 a=(\sin a+\cos a)^3-3\sin a\cos a(\sin a+\cos a).$$

   Подставим $$\sin a+\cos a=b$$ и $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}$$:

   $$\sin^3 a+\cos^3 a=b^3-3\cdot \frac{b^2-1}{2}\cdot b =\frac{2b^3-3b^3+3b}{2} =\frac{b(3-b^2)}{2}.$$

3. Найдём $$\sin^4 a+\cos^4 a$$:

   $$\sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a.$$

   Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1$$, а $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}$$, то

   $$\sin^4 a+\cos^4 a=1-2\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^2 =1-\frac{(b^2-1)^2}{2}.$$

   Раскроем скобки:

   $$1-\frac{b^4-2b^2+1}{2} =\frac{1+2b^2-b^4}{2}.$$

Ответ: $$\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2},\quad \sin^3 a+\cos^3 a=\frac{b(3-b^2)}{2},\quad \sin^4 a+\cos^4 a=\frac{1+2b^2-b^4}{2}.$$