Упр.20.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1. 1) $$\sin^4(a)\cos^2(a)+\sin^2(a)\cos^4(a)=\sin^2(a)\cos^2(a)$$; 2) $$\operatorname{ctg}^2(a)-\cos^2(a)=\operatorname{ctg}^2(a)\cos^2(a)$$; 3) $$1+\left(\operatorname{ctg}^2(a)-\operatorname{tg}^2(a)\right)\cos^2(a)=\operatorname{ctg}^2(a)$$.

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 a \cos^2 a+\sin^2 a \cos^4 a =\sin^2 a \cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)$$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$\sin^2 a \cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)=\sin^2 a \cos^2 a.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\ctg^2 a-\cos^2 a =\ctg^2 a-\ctg^2 a\cos^2 a-\cos^2 a+\ctg^2 a\cos^2 a$$

Удобнее записать так:

$$\ctg^2 a-\cos^2 a-\ctg^2 a\cos^2 a =\ctg^2 a(1-\cos^2 a)-\cos^2 a$$

Так как $$1-\cos^2 a=\sin^2 a,$$ а $$\ctg^2 a=\dfrac{\cos^2 a}{\sin^2 a},$$ то

$$\ctg^2 a(1-\cos^2 a)-\cos^2 a =\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\sin^2 a-\cos^2 a =\cos^2 a-\cos^2 a=0.$$

Следовательно,

$$\ctg^2 a-\cos^2 a=\ctg^2 a\cos^2 a.$$

Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть:

$$1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a =1+\ctg^2 a\cos^2 a-\tg^2 a\cos^2 a.$$

Так как $$\tg^2 a=\dfrac{\sin^2 a}{\cos^2 a},$$ то

$$1+\ctg^2 a\cos^2 a-\tg^2 a\cos^2 a =1+\ctg^2 a\cos^2 a-\sin^2 a.$$

Используем $$1-\sin^2 a=\cos^2 a$$:

$$\cos^2 a+\ctg^2 a\cos^2 a =\cos^2 a(1+\ctg^2 a).$$

Так как $$1+\ctg^2 a=\dfrac{1}{\sin^2 a},$$ получаем

$$\cos^2 a(1+\ctg^2 a)=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}=\ctg^2 a.$$

Следовательно,

$$1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a=\ctg^2 a.$$

Тождество доказано.