Упр.20.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Докажите тождество:

1) $$\frac{\cos^3(a)-\sin^3(a)}{1+\sin(a)\cos(a)}=\cos(a)-\sin(a);$$
2) $$\tg^2(a)-\sin^2(a)=\tg^2(a)\sin^2(a);$$
3) $$\frac{\sqrt{3}-2\sin(a)}{2\cos(a)-1}=\frac{1+2\cos(a)}{2\sin(a)+\sqrt{3}};$$
4) $$\frac{\ctg^2(a)-\cos^2(a)}{\sin^2(a)-\tg^2(a)}=-\ctg^6(a);$$
5) $$\frac{\sin(a)+\tg(a)}{1+\cos(a)}=\tg(a);$$
6) $$\frac{\sin^2(a)}{\ctg^2(a)-\cos^2(a)}=\tg^4(a).$$

1)

$$\frac{\cos^3 a-\sin^3 a}{1+\sin a\cos a}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos^2 a+\sin a\cos a+\sin^2 a)}{1+\sin a\cos a}$$

$$=\frac{(\cos a-\sin a)(1+\sin a\cos a)}{1+\sin a\cos a}=\cos a-\sin a.$$

Тождество доказано.

2)

$$\tg^2 a-\sin^2 a=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a=\sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)$$

$$=\sin^2 a\cdot\frac{1-\cos^2 a}{\cos^2 a}=\sin^2 a\cdot\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}=\tg^2 a\cdot\sin^2 a.$$

Тождество доказано.

3)

$$\frac{\sqrt3-2\sin a}{2\cos a-1}=\frac{1+2\cos a}{2\sin a+\sqrt3}$$

Докажем, что разность левой и правой частей равна нулю:

$$\frac{\sqrt3-2\sin a}{2\cos a-1}-\frac{1+2\cos a}{2\sin a+\sqrt3}$$

$$=\frac{(\sqrt3-2\sin a)(2\sin a+\sqrt3)-(1+2\cos a)(2\cos a-1)}{(2\cos a-1)(2\sin a+\sqrt3)}$$

$$=\frac{3-4\sin^2 a-4\cos^2 a+1}{(2\cos a-1)(2\sin a+\sqrt3)}$$

$$=\frac{4-4(\sin^2 a+\cos^2 a)}{(2\cos a-1)(2\sin a+\sqrt3)}=0.$$

Тождество доказано.

4)

$$\frac{\ctg^2 a-\cos^2 a}{\sin^2 a-\tg^2 a}=\frac{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\cos^2 a}{\sin^2 a-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}$$

$$=\frac{\cos^2 a\left(\frac{1}{\sin^2 a}-1\right)}{\sin^2 a\left(1-\frac{1}{\cos^2 a}\right)}$$

$$=\frac{\cos^2 a\cdot\frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a\cdot\frac{\cos^2 a-1}{\cos^2 a}}$$

$$=\frac{\cos^2 a\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}{\sin^2 a\cdot\frac{-\sin^2 a}{\cos^2 a}}=-\frac{\cos^6 a}{\sin^6 a}=-\ctg^6 a.$$

Тождество доказано.

5)

$$\frac{\sin a+\tg a}{1+\cos a}=\frac{\sin a+\frac{\sin a}{\cos a}}{1+\cos a}$$

$$=\frac{\sin a\cos a+\sin a}{\cos a(1+\cos a)}=\frac{\sin a(\cos a+1)}{\cos a(1+\cos a)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

Тождество доказано.

6)

$$\frac{\sin^2 a}{\ctg^2 a-\cos^2 a}=\frac{\sin^2 a}{\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\cos^2 a}$$

$$=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a\left(\frac{1}{\sin^2 a}-1\right)}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a\cdot\frac{1-\sin^2 a}{\sin^2 a}}$$

$$=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a\cdot\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}=\frac{\sin^4 a}{\cos^4 a}=\tg^4 a.$$

Тождество доказано.