Упр.20.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Найдите значения тригонометрических функций аргумента $$a$$, если:
1) $$\cos a=\frac{12}{13}$$ и $$02) $$\sin a=-\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$\pi3) $$\tg a=-\frac{1}{3}$$ и $$\frac{3\pi}{2}4) $$\ctg a=-7$$ и $$\frac{\pi}{2}

Подробный ответ

1) $$\cos a=\frac{12}{13}, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$

Угол $$a$$ принадлежит первой четверти, значит $$\sin a>0$$:

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{169-144}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}, \qquad \ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{12}{5}.$$

2) $$\sin a=-\frac{\sqrt3}{4}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$

Угол $$a$$ принадлежит третьей четверти, значит $$\cos a<0$$:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}=-\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{3}{16}}=-\sqrt{\frac{13}{16}}=-\frac{\sqrt{13}}{4}.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\sqrt3/4}{-\sqrt{13}/4}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{39}}{13},$$

$$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{39}}{3}.$$

3) $$\tg a=-\frac13, \quad \frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$$

Угол $$a$$ принадлежит четвертой четверти, значит $$\cos a>0$$, $$\sin a<0$$:

$$\cos a=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 a}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac13\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac19}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

Тогда

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a=-\frac13\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10},$$

$$\ctg a=\frac{1}{\tg a}=-3.$$

4) $$\ctg a=-7, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$

Угол $$a$$ принадлежит второй четверти, значит $$\sin a>0$$, $$\cos a<0$$:

$$\sin a=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 a}}=\sqrt{\frac{1}{1+(-7)^2}}=\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Тогда

$$\cos a=\ctg a\cdot \sin a=-7\cdot \frac{\sqrt2}{10}=-\frac{7\sqrt2}{10},$$

$$\tg a=\frac{1}{\ctg a}=-\frac17.$$