Упр.18.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=-3\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{?}{6}\right)+2$$.

Подробный ответ

Построим график функции $$y=-3\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+2.$$

Преобразуем аргумент:

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Значит, график функции $$y=\sin x$$ нужно преобразовать так:

сдвинуть на $$\frac{\pi}{3}$$ вправо;
растянуть в 2 раза по оси абсцисс;
отразить относительно оси абсцисс и растянуть в 3 раза по оси ординат;
сдвинуть на 2 единицы вверх.

У функции амплитуда равна $$3$$, средняя линия — $$y=2$$, период:

$$T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi.$$

Для построения удобно отметить несколько характерных точек одного периода:

$$\begin{aligned} x=\frac{\pi}{3} &\Rightarrow y=2,\\ x=\frac{7\pi}{3} &\Rightarrow y=-1,\\ x=\frac{13\pi}{3} &\Rightarrow y=2,\\ x=\frac{19\pi}{3} &\Rightarrow y=5,\\ x=\frac{25\pi}{3} &\Rightarrow y=2. \end{aligned}$$

По этим точкам строим синусоиду с осью колебаний $$y=2$$, амплитудой $$3$$ и периодом $$4\pi$$.

Ответ: график функции $$y=-3\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+2$$ — синусоида с амплитудой $$3$$, периодом $$4\pi$$ и средней линией $$y=2$$, получаемая из графика $$y=\sin x$$ указанными преобразованиями.