Упр.17.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- 1) Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$f(x)=\cos\left(\frac{x}{4}\right)$$, $$T=8\pi$$.
- 3) Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$f(x)=\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}x\right)$$, $$T=3$$.
- 2) Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$f(x)=\operatorname{tg}(3x)$$, $$T=-\frac{2\pi}{3}$$.
- 4) Докажите, что число $$T$$ является периодом функции $$f(x)=\sin(5x-2)$$, $$T=\frac{4\pi}{5}$$.
1) Пусть $$f(x)=\cos\frac{x}{4}, \quad T=8\pi.$$ Тогда
$$f(x-T)=\cos\frac{x-8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}-2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}=f(x),$$
и
$$f(x+T)=\cos\frac{x+8\pi}{4}=\cos\left(\frac{x}{4}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{4}=f(x).$$
Следовательно, $$f(x-T)=f(x)=f(x+T)$$, то есть $$T=8\pi$$ — период функции.
2) Пусть $$f(x)=\tg 3x, \quad T=-\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда
$$f(x-T)=\tg\left(3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\tg(3x+2\pi)=\tg 3x=f(x),$$
и
$$f(x+T)=\tg\left(3\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\tg(3x-2\pi)=\tg 3x=f(x).$$
Значит, $$T=-\frac{2\pi}{3}$$ — период функции.
3) Пусть $$f(x)=\ctg \pi x, \quad T=3.$$ Тогда
$$f(x-T)=\ctg\bigl(\pi(x-3)\bigr)=\ctg(\pi x-3\pi)=\ctg \pi x=f(x),$$
и
$$f(x+T)=\ctg\bigl(\pi(x+3)\bigr)=\ctg(\pi x+3\pi)=\ctg \pi x=f(x).$$
Следовательно, $$T=3$$ — период функции.
4) Пусть $$f(x)=\sin(5x-2), \quad T=\frac{4\pi}{5}.$$ Тогда
$$f(x-T)=\sin\left(5\left(x-\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x-2-4\pi)=\sin(5x-2)=f(x),$$
и
$$f(x+T)=\sin\left(5\left(x+\frac{4\pi}{5}\right)-2\right)=\sin(5x-2+4\pi)=\sin(5x-2)=f(x).$$
Значит, $$T=\frac{4\pi}{5}$$ — период функции.
Ответ: $$8\pi,\; -\frac{2\pi}{3},\; 3,\; \frac{4\pi}{5}.$$
