Упр.16.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) $$f(x)=\tg x+\ctg x$$

Область определения функции:

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Область определения симметрична относительно нуля, так как вместе с каждым допустимым $$x$$ допустимо и $$-x$$.

Проверим чётность:

$$f(-x)=\tg(-x)+\ctg(-x)=-\tg x-\ctg x=-f(x).$$

Ответ: нечётная.

2) $$f(x)=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}$$

Область определения функции:

$$\sin x-\tg x\ne 0,\quad \cos x\ne 0.$$

Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},$$ то при $$\cos x\ne 0$$ имеем

$$\sin x-\tg x=\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x(\cos x-1)}{\cos x}\ne 0.$$

Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac{\sin(-x)+\tg(-x)}{\sin(-x)-\tg(-x)}=\frac{-\sin x-\tg x}{-\sin x+\tg x}=\frac{\sin x+\tg x}{\sin x-\tg x}=f(x).$$

Ответ: чётная.

3) $$f(x)=\frac{\cos x}{x^2-1}$$

Область определения функции:

$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1.$$

Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\cos x}{x^2-1}=f(x).$$

Ответ: чётная.

4) $$f(x)=\frac{\tg^2 x}{x^3-1}$$

Область определения функции:

$$x^3-1\ne 0,\quad x\ne 1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

5) $$f(x)=\cos x+\frac{\pi}{3}$$

Область определения функции:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$f(-x)=\cos(-x)+\frac{\pi}{3}=\cos x+\frac{\pi}{3}=f(x).$$

Ответ: чётная.

6) $$f(x)=\frac{(x^2-1)\ctg x}{x^2-1}$$

При $$x^2-1\ne 0$$ получаем

$$f(x)=\ctg x.$$

Область определения функции:

$$x\ne \pm 1,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим чётность:

$$f(-x)=\ctg(-x)=-\ctg x=-f(x).$$

Ответ: нечётная.