Упр.15.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ возможно равенство: 1) $$\cos x=a+3$$; 3) $$\cos x=a^2-1$$; 5) $$\cos x=a^2-5a+5$$; 2) $$\sin x=a^2+1$$; 4) $$\sin x=a^2-a-1$$; 6) $$\operatorname{tg}x=\frac{a+2}{a-2}$$?

1) Для существования значения $$\cos x=a+3$$ нужно, чтобы

$$-1\le a+3\le 1.$$

Тогда

$$-4\le a\le -2.$$

Ответ: $$a\in[-4;-2].$$

2) Для существования значения $$\sin x=a^2+1$$ нужно, чтобы

$$-1\le a^2+1\le 1.$$

Из левой части получаем

$$a^2\ge -2,$$

что верно при любых $$a,$$ а из правой части:

$$a^2\le 0.$$

Следовательно,

$$a=0.$$

Ответ: $$a\in\{0\}.$$

3) Для существования значения $$\cos x=a^2-1$$ нужно, чтобы

$$-1\le a^2-1\le 1.$$

Получаем

$$0\le a^2\le 2.$$

Так как $$a^2\ge 0,$$ то достаточно условия

$$a^2\le 2,$$

то есть

$$-\sqrt2\le a\le \sqrt2.$$

Ответ: $$a\in[-\sqrt2;\sqrt2].$$

4) Для существования значения $$\sin x=a^2-a-1$$ нужно, чтобы

$$-1\le a^2-a-1\le 1.$$

Решим по частям.

Из неравенства $$-1\le a^2-a-1$$ получаем

$$a^2-a\ge 0,$$

$$a(a-1)\ge 0,$$

откуда

$$a\le 0 \text{ или } a\ge 1.$$

Из неравенства $$a^2-a-1\le 1$$ получаем

$$a^2-a-2\le 0,$$

$$(a+1)(a-2)\le 0,$$

откуда

$$-1\le a\le 2.$$

Пересечение решений:

$$a\in[-1;0]\cup[1;2].$$

Ответ: $$a\in[-1;0]\cup[1;2].$$

5) Для существования значения $$\cos x=a^2-5a+5$$ нужно, чтобы

$$-1\le a^2-5a+5\le 1.$$

Из левой части:

$$a^2-5a+6\ge 0,$$

$$(a-2)(a-3)\ge 0,$$

откуда

$$a\le 2 \text{ или } a\ge 3.$$

Из правой части:

$$a^2-5a+4\le 0,$$

$$(a-1)(a-4)\le 0,$$

откуда

$$1\le a\le 4.$$

Пересечение решений:

$$a\in[1;2]\cup[3;4].$$

Ответ: $$a\in[1;2]\cup[3;4].$$

6) Для существования значения $$\tg x=\dfrac{a+2}{a-2}$$ нужно, чтобы правая часть была определена, то есть

$$a-2\ne 0.$$

Следовательно,

$$a\ne 2.$$

Ответ: $$a\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$