Упр.13.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1) $$\sqrt{x+2}>x$$; 3) $$\sqrt{x^2-5x-24}\geq x+2$$; 2) $$\sqrt{2x+14}>x+3$$; 4) $$\sqrt{x^2+4x-5}>x-3$$.

1) $$\sqrt{x+2}>x$$

Возведём обе части в квадрат. Сначала учтём, что $$x+2\ge 0$$, то есть $$x\ge -2$$.

Тогда

$$x+2>x^2$$

$$x^2-x-2<0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)<0$$

Отсюда $$-1<x<2$$.

С учётом области определения получаем:

$$x\in[-2;2).$$

2) $$\sqrt{2x+14}>x+3$$

Область определения: $$2x+14\ge 0$$, значит $$x\ge -7$$.

Если $$x+3<0$$, то неравенство выполняется автоматически, так как левая часть неотрицательна. Тогда $$x<-3$$.

Если $$x+3\ge 0$$, возводим обе части в квадрат:

$$2x+14>\left(x+3\right)^2$$

$$2x+14>x^2+6x+9$$

$$x^2+4x-5<0$$

$$\left(x+5\right)\left(x-1\right)<0$$

$$-5<x<1$$

С учётом условия $$x\ge -3$$ получаем $$-3\le x<1$$.

Объединяя оба случая, имеем:

$$x\in[-7;1).$$

3) $$\sqrt{x^2-5x-24}\ge x+2$$

Если $$x+2\le 0$$, то неравенство выполняется при всех значениях, для которых выражение под корнем определено. Решим сначала условие существования корня:

$$x^2-5x-24\ge 0$$

$$\left(x+3\right)\left(x-8\right)\ge 0$$

$$x\le -3 \text{ или } x\ge 8$$

При $$x+2\le 0$$ имеем $$x\le -2$$, значит подходит только $$x\le -3$$.

Если $$x+2>0$$, возводим обе части в квадрат:

$$x^2-5x-24\ge \left(x+2\right)^2$$

$$x^2-5x-24\ge x^2+4x+4$$

$$-9x\ge 28$$

$$x\le -\frac{28}{9}$$

Но при этом должно быть $$x>-2$$, что невозможно вместе с $$x\le -\frac{28}{9}$$.

Следовательно, решение:

$$x\in(-\infty;-3].$$

4) $$\sqrt{x^2+4x-5}>x-3$$

Если $$x-3<0$$, то неравенство выполняется при всех значениях, для которых выражение под корнем определено. Найдём область определения:

$$x^2+4x-5\ge 0$$

$$\left(x+5\right)\left(x-1\right)\ge 0$$

$$x\le -5 \text{ или } x\ge 1$$

При $$x<3$$ получаем, что неравенство верно. С учётом области определения это даёт:

$$x\in(-\infty;-5]\cup[1;3).$$

Если $$x-3\ge 0$$, то возводим обе части в квадрат:

$$x^2+4x-5>\left(x-3\right)^2$$

$$x^2+4x-5>x^2-6x+9$$

$$10x>14$$

$$x>\frac{7}{5}$$

С учётом условия $$x\ge 3$$ получаем $$x\in[3;+\infty)$$.

Итак,

$$x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in[-2;2)$$; 2) $$x\in[-7;1)$$; 3) $$x\in(-\infty;-3]$$; 4) $$x\in(-\infty;-5]\cup[1;+\infty)$$.