Упр.13.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$\sqrt{9x-20} 3) $$2\sqrt{4-x^2}\leq x+4$$;
   2) $$\sqrt{x+61} 4) $$\sqrt{x^2+4x-5}

1) $$\sqrt{9x-20}

Возведём обе части в квадрат:

$$9x-20<x^2$$

$$x^2-9x+20>0$$

$$D=9^2-4\cdot 20=81-80=1$$

$$x_1=\frac{9-1}{2}=4,\qquad x_2=\frac{9+1}{2}=5$$

Тогда

$$(x-4)(x-5)>0 \Rightarrow x<4 \text{ или } x>5$$

Учитываем область допустимых значений и условие $$x>0$$:

$$9x-20\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{20}{9}$$

Получаем:

$$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$

2) $$\sqrt{x+61}<x+5$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+61<(x+5)^2$$

$$x^2+9x-36>0$$

$$D=9^2+4\cdot 36=81+144=225$$

$$x_1=\frac{-9-15}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-9+15}{2}=3$$

Тогда

$$(x+12)(x-3)>0 \Rightarrow x<-12 \text{ или } x>3$$

Учитываем область допустимых значений:

$$x+61\ge 0 \Rightarrow x\ge -61$$

$$x+5>0 \Rightarrow x>-5$$

Следовательно, подходит только

$$x\in(3;+\infty)$$

3) $$2\sqrt{4-x^2}\le x+4$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4(4-x^2)\le (x+4)^2$$

$$16-4x^2\le x^2+8x+16$$

$$5x^2+8x\ge 0$$

$$x(5x+8)\ge 0$$

Отсюда

$$x\le -\frac{8}{5}\ \text{или}\ x\ge 0$$

Теперь учтём область определения:

$$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2$$

И условие для правой части:

$$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4$$

Пересечение даёт:

$$x\in\left[-2;-\frac{8}{5}\right]\cup[0;2]$$

4) $$\sqrt{x^2+4x-5}<x-3$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2+4x-5<(x-3)^2$$

$$x^2+4x-5<x^2-6x+9$$

$$10x<14$$

$$x<\frac{7}{5}$$

Но для существования неравенства нужно:

$$x-3>0 \Rightarrow x>3$$

Совместить условия $$x<\frac{7}{5}$$ и $$x>3$$ невозможно, значит решений нет.

Ответ:

1) $$x\in\left[\frac{20}{9};4\right)\cup(5;+\infty)$$

2) $$x\in(3;+\infty)$$

3) $$x\in\left[-2;-\frac{8}{5}\right]\cup[0;2]$$

4) $$\varnothing$$