Упр.12.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}-\sqrt{3x-2}=0$$; 2) $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$$.

1) $$\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}-\sqrt{3x-2}=0$$

Перенесём корни в одну сторону:

$$\sqrt{x+3}=\sqrt{2x-1}+\sqrt{3x-2}$$

Возведём в квадрат:

$$x+3=(2x-1)+(3x-2)+2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$

$$x+3=5x-3+2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$

$$6-4x=2\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$

$$3-2x=\sqrt{(2x-1)(3x-2)}$$

Снова возведём в квадрат:

$$\left(3-2x\right)^2=(2x-1)(3x-2)$$

$$9-12x+4x^2=6x^2-7x+2$$

$$2x^2+5x-7=0$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}$$

$$x_1=-\frac{7}{2},\qquad x_2=1$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+3\ge 0,\quad 2x-1\ge 0,\quad 3x-2\ge 0$$

Отсюда $$x\ge \frac{2}{3}$$.

Подходит только $$x=1$$.

2) $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{3x-1}$$

Возведём в квадрат:

$$x+1+2\sqrt{(x+1)(x-1)}+x-1=3x-1$$

$$2x+2\sqrt{x^2-1}=3x-1$$

$$2\sqrt{x^2-1}=x-1$$

Снова возведём в квадрат:

$$4(x^2-1)=(x-1)^2$$

$$4x^2-4=x^2-2x+1$$

$$3x^2+2x-5=0$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{6}$$

$$x_1=-\frac{5}{3},\qquad x_2=1$$

Проверим ОДЗ:

$$x+1\ge 0,\quad x-1\ge 0,\quad 3x-1\ge 0$$

Отсюда $$x\ge 1$$.

Подходит только $$x=1$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1$$.