Упр.12.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
- $$\left(x^2+3x\right)^2-2\left(x^2+3x\right)-8=0$$
- $$\frac{x-1}{x}-\frac{3x}{2(x-1)}=-\frac{5}{2}$$
- $$\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12$$
- $$\frac{x^2}{(2x+3)^2}-\frac{3x}{2x+3}+2=0$$
1) Пусть $$y=x^2+3x,$$ тогда
$$y^2-2y-8=0.$$
$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2},$$
откуда $$y_1=-2,\quad y_2=4.$$
1) Если $$x^2+3x=-2,$$ то
$$x^2+3x+2=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{2},$$
то есть $$x=-2,\,-1.$$
2) Если $$x^2+3x=4,$$ то
$$x^2+3x-4=0,$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2},$$
то есть $$x=-4,\;1.$$
Итак, $$x=-4,\,-2,\,-1,\;1.$$
2) Пусть $$y=x^2+x+1,$$ тогда
$$y(y+1)=12,$$
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-12)=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$
откуда $$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
1) Если $$x^2+x+1=-4,$$ то
$$x^2+x+5=0,$$
$$D=1-20=-19<0,$$
действительных корней нет.
2) Если $$x^2+x+1=3,$$ то
$$x^2+x-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},$$
то есть $$x=-2,\;1.$$
Итак, $$x=-2,\;1.$$
3) Пусть $$y=\frac{x-1}{x},$$ тогда $$\frac{1}{y}=\frac{x}{x-1}.$$
Получаем
$$y-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{y}=-\frac{5}{2}.$$
Умножим на $$2y$$:
$$2y^2-3=-5y,$$
$$2y^2+5y-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4},$$
откуда $$y_1=-3,\quad y_2=\frac12.$$
1) Если $$\frac{x-1}{x}=-3,$$ то
$$x-1=-3x,$$
$$4x=1,$$
$$x=\frac14.$$
2) Если $$\frac{x-1}{x}=\frac12,$$ то
$$2(x-1)=x,$$
$$2x-2=x,$$
$$x=2.$$
Итак, $$x=\frac14,\;2.$$
4) Пусть $$y=\frac{x}{2x+3},$$ тогда
$$y^2-3y+2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2},$$
откуда $$y_1=1,\quad y_2=2.$$
1) Если $$\frac{x}{2x+3}=1,$$ то
$$x=2x+3,$$
$$x=-3.$$
2) Если $$\frac{x}{2x+3}=2,$$ то
$$x=2(2x+3),$$
$$x=4x+6,$$
$$3x=-6,$$
$$x=-2.$$
Проверка ОДЗ: $$2x+3\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac32,$$ найденные значения подходят.
Итак, $$x=-3,\,-2.$$
Ответ: 1) $$-4,\,-2,\,-1,\;1$$; 2) $$-2,\;1$$; 3) $$\frac14,\;2$$; 4) $$-3,\,-2$$.
