Упр.11.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4$$;
2. $$(x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12$$;
3. $$\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x$$;
4. $$(x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1$$.

1) $$\sqrt{(2x+3)(x-4)}=x-4$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(2x+3)(x-4)=(x-4)^2$$

$$2x^2-5x-12=x^2-8x+16$$

$$x^2+3x-28=0$$

$$(x+7)(x-4)=0$$

$$x=-7 \text{ или } x=4$$

Проверка:

$$x=-7:\ \sqrt{(2\cdot(-7)+3)(-7-4)}=\sqrt{121}=11,\quad -7-4=-11$$

Не подходит.

$$x=4:\ \sqrt{(2\cdot4+3)(4-4)}=0,\quad 4-4=0$$

Подходит.

2) $$\sqrt{(x-2)(2x-5)}+2=x$$

$$\sqrt{(x-2)(2x-5)}=x-2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-2)(2x-5)=(x-2)^2$$

$$(x-2)\bigl((2x-5)-(x-2)\bigr)=0$$

$$(x-2)(x-3)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=3$$

Проверка:

$$x=2:\ \sqrt{0}+2=2$$

$$x=3:\ \sqrt{(3-2)(6-5)}+2=1+2=3$$

3) $$(x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6x+12$$

$$(x+2)\sqrt{x^2-x-20}=6(x+2)$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x+2=0,$$ то $$x=-2.$$ Проверка даёт верное равенство.

Если $$x+2\ne 0,$$ то можно разделить обе части на $$x+2$$:

$$\sqrt{x^2-x-20}=6$$

$$x^2-x-20=36$$

$$x^2-x-56=0$$

$$D=1+224=225$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 15}{2}$$

$$x_1=-7,\quad x_2=8$$

Все найденные значения подходят.

4) $$(x+1)\sqrt{x^2-5x+5}=x+1$$

$$(x+1)\bigl(\sqrt{x^2-5x+5}-1\bigr)=0$$

Отсюда:

$$x+1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x^2-5x+5}=1$$

1) $$x=-1.$$ Проверка:

$$\sqrt{(-1)^2-5(-1)+5}=\sqrt{11}$$

Значит, $$x=-1$$ подходит.

2) $$\sqrt{x^2-5x+5}=1$$

$$x^2-5x+5=1$$

$$x^2-5x+4=0$$

$$(x-1)(x-4)=0$$

$$x=1 \text{ или } x=4$$

Оба значения подходят.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$2,\,3$$; 3) $$-2,\,-7,\,8$$; 4) $$-1,\,1,\,4$$.