Упр.11.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Решите уравнение:
1) $$\sqrt{2-x}=x$$;
5) $$2\sqrt{x+5}=x+2$$;
2) $$\sqrt{x+1}=x-1$$;
6) $$\sqrt{15-3x}-1=x$$;
3) $$\sqrt{3x-2}=x$$;
7) $$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$;
4) $$\sqrt{2x^2-3x-10}=x$$;
8) $$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$.

Подробный ответ

$$\sqrt{2-x}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2-x=x^2$$
$$x^2+x-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-1+3}{2}=1$$
Проверяем с учётом ОДЗ: $$2-x\ge 0,\ x\ge 0.$$ Подходит только $$x=1$$.
$$\sqrt{x+1}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+1=(x-1)^2$$
$$x+1=x^2-2x+1$$
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$
По ОДЗ: $$x+1\ge 0,\ x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$ Подходит только $$x=3$$.
$$\sqrt{3x-2}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3x-2=x^2$$
$$x^2-3x+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2$$
По ОДЗ: $$3x-2\ge 0,\ x\ge 0.$$ Оба корня подходят.
$$\sqrt{2x^2-3x-10}=x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2-3x-10=x^2$$
$$x^2-3x-10=0$$
$$D=9+40=49$$
$$x_1=\frac{3-7}{2}=-2,\quad x_2=\frac{3+7}{2}=5$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=5$$.
$$2\sqrt{x+5}=x+2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4(x+5)=(x+2)^2$$
$$4x+20=x^2+4x+4$$
$$x^2-16=0$$
$$x=\pm 4$$
По ОДЗ: $$x+5\ge 0,\ x+2\ge 0,$$ значит оба корня допустимы.
$$\sqrt{15-3x}-1=x$$
Перенесём единицу:
$$\sqrt{15-3x}=x+1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$15-3x=(x+1)^2$$
$$15-3x=x^2+2x+1$$
$$x^2+5x-14=0$$
$$D=25+56=81$$
$$x_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-5+9}{2}=2$$
По ОДЗ: $$15-3x\ge 0,\ x+1\ge 0.$$ Подходит только $$x=2$$.
$$x-\sqrt{2x^2+x-21}=3$$
Перенесём корень вправо:
$$x-3=\sqrt{2x^2+x-21}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(x-3\right)^2=2x^2+x-21$$
$$x^2-6x+9=2x^2+x-21$$
$$x^2+7x-30=0$$
$$D=49+120=169$$
$$x_1=\frac{-7-13}{2}=-10,\quad x_2=\frac{-7+13}{2}=3$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=3$$.
$$x+2+\sqrt{8-3x-x^2}=0$$
Перенесём:
$$\sqrt{8-3x-x^2}=-(x+2)$$
Возведём обе части в квадрат:
$$8-3x-x^2=(x+2)^2$$
$$8-3x-x^2=x^2+4x+4$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=49+32=81$$
$$x_1=\frac{-7-9}{4}=-4,\quad x_2=\frac{-7+9}{4}=\frac12$$
Проверка: $$x=-4$$ подходит, а $$x=\frac12$$ не подходит.