Упр.11.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

• 1) $$\sqrt[4]{x+3}=\sqrt[4]{2x-3}$$;
• 3) $$\sqrt[5]{x^2-25}=\sqrt[5]{2x+10}$$;
• 2) $$\sqrt{4x-5}=\sqrt{1-x}$$;
• 4) $$\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}$$.

1) $$\sqrt[4]{x+3}=\sqrt[4]{2x-3}$$

Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t \ge 0$$, получаем:

$$x+3=2x-3$$

$$x=6$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3,$$

$$2x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}.$$

Значение $$x=6$$ подходит.

2) $$\sqrt{4x-5}=\sqrt{1-x}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x-5=1-x$$

$$5x=6$$

$$x=\frac{6}{5}$$

Проверим ОДЗ:

$$4x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{5}{4},$$

$$1-x \ge 0 \Rightarrow x \le 1.$$

Общих значений нет, значит, корней нет.

3) $$\sqrt[5]{x^2-25}=\sqrt[5]{2x+10}$$

Так как функция $$\sqrt[5]{t}$$ возрастает на всей числовой прямой, имеем:

$$x^2-25=2x+10$$

$$x^2-2x-35=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-35)=4+140=144$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 12}{2}$$

$$x_1=-5,\quad x_2=7$$

Оба корня подходят.

4) $$\sqrt{x^2-36}=\sqrt{2x-1}$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2-36=2x-1$$

$$x^2-2x-35=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1 \cdot (-35)=144$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm 12}{2}$$

$$x_1=-5,\quad x_2=7$$

Проверим ОДЗ:

$$x^2-36 \ge 0 \Rightarrow |x| \ge 6,$$

$$2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}.$$

Из найденных корней подходит только $$x=7$$.

Ответ: 1) $$6$$; 2) корней нет; 3) $$-5,\,7$$; 4) $$7$$.